Çözüm Mantığı:

• Dizideki ilk eleman referans alınır ve bu elemanın harfleri üzerinden sırayla bir döngü kurulur.
• Her döngü adımında, o anki harf dizinin geri kalan elemanları ile kıyaslanır.
• Aynı indekslerde bir harf uyuşmazlığı olursa veya harf indeksi kıyaslanan kelimenin boyutunu aşarsa, işlem hemen sonlandırılıp o ana kadar biriken mevcut önek döndürülür.

TypeScript​

function longestCommonPrefix(strs: string[]): string { let commonPrefix = ''; let i = 0; let hasMatch = true; while (hasMatch) { let current = strs[0][i]; if(!current) return commonPrefix; for(let j=1; j<strs.length; j++) { if(current !== strs[j][i]) return commonPrefix; } commonPrefix += current; i++; } return commonPrefix; };

TypeScript'te fonksiyonların dönüş tipi parantezden sonra : kullanılarak belirtilebilir. Fonksiyon parametrelerinde ise tip belirtmek iyi bir pratik ve genellikle zorunludur. Değişken tanımlarken let veya const kullanılır; istenirse : ile açıkça tip (Type Annotation) eklenebilir. Tip belirtilmediğinde TypeScript Type Inference (Tür Çıkarımı) sayesinde değişkenin türünü otomatik olarak kendisi tahmin eder.

JavaScript​

/** * @param {string[]} strs * @return {string} */ var longestCommonPrefix = function(strs) { let commonPrefix = ''; let i = 0; let hasMatch = true; while (hasMatch) { let current = strs[0][i]; if(!current) return commonPrefix; for(let j=1; j<strs.length; j++) { if(current !== strs[j][i]) return commonPrefix; } commonPrefix += current; i++; } return commonPrefix; };

Bu kod, JavaScript ile yazılmış güzel bir en uzun ortak önek çözümü. JavaScript ile TypeScript sözdizimi temel olarak çok benzer; hatta her iki dilde de fonksiyonlar değişkenlere atanabilir. Fark olarak, JavaScript'te saf TypeScript tipleri yerine yukarıdaki gibi JSDoc (@param, @return) kullanarak veya hiç tip belirtmeden (dinamik olarak) ilerleyebiliriz.

Python​

class Solution: def longestCommonPrefix(self, strs: list[str]) -> str: commonPrefix = "" for i in range(len(strs[0])): current = strs[0][i] if current is None: return commonPrefix for j in range(1, len(strs)): if i >= len(strs[j]) or current != strs[j][i]: return commonPrefix commonPrefix += current return commonPrefix

Python'da girintilere (indentation) ve blok yapılarına çok dikkat etmek gerekir ({} süslü parantezler yerine boşluklar kullanılır). for döngüleri genellikle for i in range(...) şeklinde yazılır. Python'da tip zorunlu olmasa da fonksiyon imzasında -> ile dönüş tipi, parametrelerde ise : ile veri tipi belirtilebilir (Type Hinting). String ve liste boyutları ise len() fonksiyonuyla ölçülür.

C#​

public class Solution { public string LongestCommonPrefix(string[] strs) { string commonPrefix = ""; if (string.IsNullOrEmpty(strs[0])) return commonPrefix; if (strs.Length == 1) return strs[0]; for(int i = 0; i < strs[0].Length; i++) { char current = strs[0][i]; if(char.IsWhiteSpace(current)) break; for(int j = 1; j < strs.Length; j++) { if(i >= strs[j].Length || current != strs[j][i]) return commonPrefix; } commonPrefix += current; } return commonPrefix; } }

Çıktı tip imzası fonksiyonun başında yazılıyor.

PHP​

class Solution { /** * @param String[] $strs * @return String */ function longestCommonPrefix($strs) { $commonPrefix = ""; $firstItem = $strs[0]; $firstItemLength = strlen($strs[0]); for($i=0; $i<$firstItemLength; $i++) { $current = $firstItem[$i]; for($j=1; $j<count($strs); $j++) { if($i >= strlen($strs[$j]) || $current != $strs[$j][$i]) { return $commonPrefix; } } $commonPrefix .= $current; } return $commonPrefix; } }

Her değişken $ işareti ile başlıyor. Tip belirtmiyoruz yorum satırı dışında. Dizi boyutu için count() , string boyutu için strlen() kullanılıyor. İki string'in toplanması + yerine . ile sağlanıyor.

Go (Golang)​

func longestCommonPrefix(strs []string) string { commonPrefix := ""; firstItem := strs[0]; firstItemLength := len(strs[0]); for i := 0; i < firstItemLength; i++ { current := firstItem[i]; for j := 1; j < len(strs); j++ { if i >= len(strs[j]) || current != strs[j][i] { return commonPrefix; } } commonPrefix += string(current); } return commonPrefix; }

Fonksiyon Tanımı: func anahtar kelimesiyle tanımlanır, fonksiyonun dönüş tipi parantezlerin en sonunda belirtilir.

Değişken Tanımlama: Matematiksel tanımlamaya benzer şekilde := operatörü ile kısa tip çıkarımı (short variable declaration) yapılarak tanımlanır.

Veri Tipleri: Dizi/Dilim (Slice) tanımları []string şeklinde köşeli parantezle yapılır.

Sözdizimi Kuralları (Kritik): for ve if koşullarında parantez () kullanmak zorunlu değildir. Ancak açılış süslü parantezi { kesinlikle aynı satırda başlamalıdır; aksi takdirde Go derleyicisi otomatik noktalı virgül (ASI) kuralı yüzünden hata verir.

Boyut ve Karakterler: Boyutlar len() ile ölçülür. String indeksine erişildiğinde byte (uint8) türünde değer döner; bu yüzden toplama işleminde kullanmak için string(current) şeklinde cast (dönüşüm) yapmak gerekir.

Bugünkü yazımın amacı derin öğrenme konusunda yardımcı lineer cebir önbilgileri toparlamaktır. Özet mahiyetindedir. Konumuz lineer cebirin temel taşları olan; skaler, vektör ve matristir.

Skaler & Vektör​

Skaler $k \in \mathbb{R}$, gerçel bir sayı ile temsil edilebilen ama yönü olmayan büyüklüktür. Vektör ise sayısal bir büyüklüğü ve yönü olan geometrik nesnedir. Geleneksel gösterim $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} x_1 \\ ... \\ x_n \end{bmatrix}$, $x_1, ..., x_n \in \mathbb{R}$ sütun matris şeklindedir. Vektörün satır sayısı bulunduğu uzayın boyutunu belirtir öyle ki, $\mathbf{v} \in \mathbb{R}^n$ n-boyutlu reel uzayın elemanıdır.

Vektör Toplama ve Skaler ile Çarpma​

Eşleşen bileşenler toplanır. Ayrıca farklı boyutlardaki vektörler toplanamaz.

Bir vektörü skaler ile çarpmak; o skalerin her bileşen ile çarpılması demektir.

Vektörün Uzunluğu (Norm)​

Bir vektörün uzunluğu (Öklid normu) bileşenlerinin karelerinin toplamının kareköküdür:

$\|\mathbf{v}\| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}$

Birim Vektör​

Uzunluğu 1 birim olan, yani $\|\mathbf{v}\| = 1$ koşulunu sağlayan vektörlerdir. Koordinat eksenlerini temsil etmek için kullanılır.

$\mathbf{v} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = x_1\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_2\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

Yukarıdaki denklem iki boyutlu uzayda bir vektörün, birim vektörler ile lineer kombinasyonuna örnektir.

Vektör Geometrik Yorum​

$x_1, ..., x_n$ koordinat eksenleri olarak adlandırılır. Her bir koordinat ekseni vektörün o eksen üzerindeki uzunluğunu ölçer. Bütün vektörler için orijin $O=(0, ... , 0) \in \mathbb{R}^n$ başlangıç noktasıdır. O halde uzaydaki her nokta başlangıç noktası orijin olan bir vektörü temsil eder.

Şekil 1: İki boyutlu uzayda vektör ve nokta eşleştirilmesine örnektir.

Matris​

Unfortunately, no one can be told what the Matrix is. You have to see it for yourself.

— Morpheus

Matris, orijini sabit tutan, doğruları doğru olarak koruyan ve paralel doğruların paralelliğini bozmayan bir lineer dönüşümün sayısal temsilidir. Formal olarak $T$ dönüşümünün lineer olması için şu iki koşulu sağlaması gerekir:

$T(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v}), \newline T(k\mathbf{v}) = kT(\mathbf{v})$

Bu tanım; döndürme, yansıtma, ölçeklendirme, kesme (shear) ve izdüşüm gibi işlemlerin hepsini kapsar.

$A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ olsun. O zaman $A$ $m \times n$ boyutunda bir matristir. Burada $m$ satır, $n$ sütun boyutudur.

Matris Toplama ve Çarpma​

$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \quad \text{ve} \quad B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix}$ iki matris olsun. Toplama ve çarpma işlemleri aşağıdaki gibidir.

Matris çarpımının bu şekilde tanımlanmasının altında yatan sezgi şudur: matris çarpımı, dönüşümlerin kompozisyonudur. $AB$ ifadesi, önce $B$ dönüşümünü sonra $A$ dönüşümünü uygulamak anlamına gelir. Bu sezgi, derin öğrenmede art arda gelen katmanların neden matris çarpımıyla ifade edildiğini anlamanın anahtarıdır. Matris çarpımı değişmeli değildir: genel olarak $AB \neq BA$. Dönüşüm sırasını değiştirmek farklı bir sonuç doğurur.

Bir Matrisin Transpozu​

$\text{Bir } m \times n \text{ matris } A \text{ için transpozu } A^{\top} \text{ bir } n \times m \text{ matristir:}$

$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{bmatrix} \quad \Longrightarrow \quad A^{\top} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} \\ a_{12} & a_{22} \\ a_{13} & a_{23} \end{bmatrix}$

Genel kural $(A^{\top})_{ij} = A_{ji}$.

Simetrik Matris​

Transpoz kendisine eşit olan kare matrise simetrik matris denir.

$A = A^{\top} \quad \Longleftrightarrow \quad a_{ij} = a_{ji} \quad \forall\, i, j$

Derin öğrenmede kovaryans matrisi, Hessian ve Gram matrisi gibi simetrik matrislerle sık karşılaşılır.

Matris & Vektör Geometrik Yorum​

Bir matrisin bir vektörle çarpımı, o matrisin temsil ettiği lineer dönüşümün vektöre uygulanmasıdır.

Bir örnek çözelim: $\newline A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$ matris ve $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{2}$ vektör olsun.

Matris çarpma işlemi sonucunda oluşan yeni vektör $\mathbf{v'} = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}$, $\mathbf{v}$ vektörünün lineer dönüşümüdür. Yani vektör dönüştürülmüş, yönü ve büyüklüğü değişmiştir.

Şekil 2: Turuncu vektör $\mathbf{v}$, mavi vektör $\mathbf{v'}$ vektörünü temsil etmektedir.

Sonuç​

Lineer cebir, bilimsel olarak araştırma yaptığımız uzayları modellemek için elimizdeki en iyi araçlardan biridir. Tüm uzayları kağıt kaleme sığdırmak herkesin harcı değildir. Okur daha da derinlere dalmak isterse, aşağıdaki kaynakları inceleyebilir.

Bir sonraki yazıda görüşmek üzere!

Kaynaklar​

1. Dive into Deep Learning
2. Essence of Linear Algebra — 3Blue1Brown

Diğer blog yazılarında görüşmek üzere!